Maple 6 - Derivace

10. 03. 12 - 13:32. Napsal Jiří Chytil. Přečteno 8072x. 97 komentářů


Tento díl je zaměřen na infinitezimální počet. Zabývá se tedy derivováním a parciálními derivacemi. Integrální počet ač jsem ho v tomto dílu slíbil, nechám pro přehlednost na příště. A taky kdo ví, kdy to bude, tak jsem připravil alespoň toto.

Derivace

V Maplu můžeme používat dvě funkce pro derivování. A to D() a diff(). Začneme funkcí diff().

Funkce diff()

Chceme li derivovat například funkci sin(x) potom bude zápis nasledující:

diff(sin(x),x);
cos(x)

kde prvním parametrem funkce diff() je derivovaná funkce a druhým parametrem je proměnná podle které derivujeme. Nebo můžeme použít hezčí zápis s Diff().

Diff(sin(x),x) = diff(sin(x),x);
 Diff(sin(x),x) = cos(x)

Pokud chcem záskat vyšší derivaci funkce dejem tomu 3 potom můžeme použít jeden z uvedených zápisů, doporučuju používat ten první.

Diff(sin(x),x$3) = diff(sin(x),x$3);
 Diff(sin(x),x$3) = -cos(x)

Nebo

Diff(sin(x),x,x,x) = diff(sin(x),x,x,x);
 Diff(sin(x),x$3) = -cos(x)

Pokud by funkce byla funkcí více než jedné proměnné a my bychom podle jedné z těchto proměnných derivoval jednalo by se o parciální derivaci. Mějme tedy funkci sin(xy) a zkusme ji derivovat podle x.

Diff(sin(x*y),x) = diff(sin(x*y),x);
 Diff(sin(x*y),x) = vysledek)

Pokud bychom chtěli derivovat podle více proměnných, může zápis vypadat třeba takto:

Diff(sin(x*y),x,y$2) = diff(sin(x*y),x,y$2);
 Diff(sin(x*y),x,y$2) = vysledek)

Derivuje se v takovém pořadí, v jakém jsou derivace v argumentu funkce diff() zapsaná tady prvně podle x a poté 2x podle y.

Operátor derivace D()

Slouží ve výpočtu derivace funkce a jeho návratovou hodnotou je opět funkce. Pro funkci sinus:

D(sin);
cos
f:=D(sin);
f:=cos
f(Pi);
-1

Zápis druhé derivace:

f:=D@@2(sin);
F:=D(2)

Nyní mějme uživatelem definovanou funkci: f(x)=x^3+x^(1/2)

f:=x->x^3+x^(1/2)
 f:=x->x^3+x^(1/2)

A její derivaci získáme takto:

f:=D(f);
 3x^2+1/(2*sqrt(x)))

Operátor derivace D lze samozřejmě použít i pro parciální derivace mějme tedy funkci tří proměnných g(x,y,z).

g:= (x,y,z) -> x*y*sin(z+x);
g:= (x,y,z) -> x*y*sin(z+x
A nyní funkci derivujme podle všech porměnných

gx:=D[1](g); gy:=D[2](g); gz:=D[3](g);
 první parciální derivace podle každé z proměnných funkce

Ve hranatých závorkách je uveden pořadí proměnné, podle které chceme derivovat. Pořadí odpovídá pomu jak jsou proměnné zadány při definovaní funkce g(x,y,z). Samozřejmě se nemusíme omezovat na derivaci podle jediné proměnné a ani na první derivace. Uvdeme si porot jak funkci derivovat 2x podle x 1x podle y a 3x podle z z. A uvedu opět dva zápisy které jsou ekvivalentní.

gd:=D[1$2,2,3$3](g);
gd:=D[1,1,2,3,3,3](g);
 výsledky derivací

Pořadí v jakém jsou argumenty v hranatých závorkách uváděny ovlivňuje to, v jakém pořadí jsou jednotlivé derivace prováděny. Pokud chci provést první derivaci podle z poté derivaci podle a a potom 2x derivaci podle z. Může zápis vypadat třeba takto:

gd:=D[3,2,3$2](g);
 výsledek derivace

chceme li získat hodnotu funkce v bodě potom bude zápis následující:

gd:=D[1$2,2,3$3](g)(Pi,1,0);
gd:=-π

Kde hodnoty vkládané do funkce jsou v posledních kulatých závorkách a opět se shodují s pořadím, v jakých jsou zadány při definici funkce.

Ukázka derivací na grafu. Pro ukázku použijeme jednoduchou funkci f(x) = x3.

f:=x->x^3; f1:=D(f); f2:=D(f1); plot([f(x),f1(x),f2(x)],x=-1..1,y=-1..2);
 výpis
 graf funkce jejich dvou derivací