Jít k navigaci - Jít k vyhledávání


Základy elektrotechniky - 11 - Metody řešení lineárních elektrických obvodů

24. 01. 09 - 22:10. Napsal Jiří Chytil. Přečteno 43470x.

V tomto dílu seriálu základů elektrotechniky se začneme zabývat metodami řešení lineárních elektrických obvodů. A odbočíme tak od zdrojů, které nás tížili několik předchozích dílů. Taky se podíváme na děliče proudu.

468x60.gif Doporučujeme virtuálního opertátora GoMobil.cz | Reklamní sdělení

Metody řešení elektrických obvodů:

Univerzální:

  • Kirchhoffovy zákony
  • MSP - Metoda smyčkových proudů
  • MUN -Metoda uzlových napětí

Speciální:

  • Theveninův teorém
  • Nortonův teorém
  • Postupné zjednodušování
  • Metoda úměrných veličin

Pokročilejší metody

  • MMUN - Modifikovaná metoda uzlových napětí.
  • Metoda razítek.

Superpozice

V prvé řadě si ale řemene, co je to princip superpozice, v čem spočívá a kde se používá. Princip superpozice se uplatňuje v lineárních odvodech a říká, že celková odezva vyvolaná všemi zdroji najednou je rovna součtu odezev vyvolaných jednotlivými zdroji. Důkaz provedeme na nejjednodušším možném zapojení a to na dvojici zdrojů a jednom lineárním prvku (rezistoru).

důkaz principu superpozice
Obrázek č. 1 - Důkaz principu superpozice
důkaz principu superpozice vzorce

Zadáme hodnoty například RZ=100Ω U1=20V U2=5V

příklad na princip superpozice vzorce

Superpozice se sama o sobě na řešení příkladů nepoužívá. Je příliš zdlouhavá. Používá se jen pro některé speciální případy, o kterých si pravděpodobně povíme později (pokud na to nezapomenu).

Jinak abych to ještě vhodně popsal a neměl tady resty: obvod řešíme tak, že všechny zdroje, krom toho který právě počítáme a nahradíme jejich vnitřním odporem. Ideální zdroj napětí nahradíme drátem (0Ω) zatím co ideální zdroj proudu jakoby úplně odmažeme (∞Ω). A obvod řešíme některou z dále uvedených metod. Pozor musíme dodržovat znaménka u směrů proudu pasivními prvky, v našem případě zatím pouze rezistory.

Postupné zjednodušování

Metoda postupného zjednodušování je speciální metoda a používá se v lineárních obvodech s jediným zdrojem. Pomocí metody počítáme tak, že slučujeme sériové a paralelní kombinace rezistorů tak jak je naznačeno na obrázku.

postupné zjenodušování
Obrázek č. 2 - Postupné zjednodušování

Ze spočítané hodnoty celkového odporu R spočítáme proud tímto odporem a od tohoto proudu postupuje opačně, obvod zase zesložiťujeme a dopočítáváme napětí a proudy.

Příklad: Vpočtete hodnoty napětí na všech rezistorech.

  • R1, R6, R7=10Ω
  • R2, R4=50Ω
  • R3=5Ω
  • R5=25Ω
  • U=30V
zadaný obvod
Obrázek č. 3 - Zadaný obvod

Pro zjednodušování budeme používat vzorce z čtvrtého dílu seriálu elektroniky.

vzorce pro sériové řazení rezistorů
 vzorce pro paralelní řazení rezistorů

Začneme tedy počítat, prvně spočítáme sériovou kombinaci R6 a R7 a výsledná odpor dostaneme 20Ω Dále spočítáme paralelní kombinaci R3 a R4 kde po výpočtu dostane hodnotu 4,55Ω.

první zjednodušení obvodu
Obrázek č. 4 - První zjednodušení obvodu

Spočítáme sériovou kombinaci R1 a R34 kde dostaneme výslednou hodnotu 14,55Ω a pokračujeme zjednodušením na odpor R1234 který bude mít hodnotu 11,27Ω

druhé zjednodušení obvodu
Obrázek č. 5 - Druhé zjednodušení obvodu

Dále potom vypočítáme sériovou kombinaci odporů R1234 a R5 a dostaneme odpor R12345 s hodnotou 36,27Ω a mohly bychom pokračovat zjednodušením na celkový odpor R, který by měl hodnotu 12,89Ω

další zjednodušení obvodu
Obrázek č. 6 - Třetí zjednodušení obvodu

Ale tomuto poslednímu zjednodušení se již vyhneme ? vidíme, že máme dvě paralelní větve připojené k ideálnímu zdroji napětí a tyto větve můžeme řešit každou zvlášť. Prvně vyřešíme větev R67 a to můžeme buď z Ohmova zákona, kdy spočítáme proud větví z I=U/R=30/20=1,5A Tedy celou větví teče proud 1,5A a tento proud tedy teče i každým z odporů ve větvi neboť jsou řazeny do série. A protože jsou stejné tak stačí spočítat napětí na jednom U=RI=10*1,5=15V. Nebo můžeme výt z toho, že jsou oba odpory stejné a že se na ně napětí rozloží na půl a pak dopočítat proud jako I=U/R=15/10=1,5A

Dělič proudu

Řešení druhé větve již bude trošku komplikovanější. A než něco začnu řešit, seznámím vás s děliči proudu. Kdesi dávno jsem psal o děličích napětí, ale děliče proudu jsem si nechal až sem i když počítání je velmi podobné. Dělič napětí vychází z druhého, tedy napěťového Kirchhoffova zákona, zatím co dělič proudu vychází z prvního tedy proudového Kirchhoffova zákona. Mějme obvod, kterým teče určitý proud a my tento proudu rozdělíme do dvou větví na proudu I1 a I2.

dělič proudu
Obrázek č. 7 - Dělič proudu

To, v jakém poměru se tyto proudu rozdělí, určujeme podle vzorce:

dělič proudu s vodivostmi

Ve vzorci je užito vodivostí, ale vzorec můžeme přetransformovat na použití rezistorů:

dělič proudu s rezistory

Ze vzorců jasně vidíme, že větší vodivostí, tedy menším odporem teče větší proud.

No ale zpět k příkladu. Větev R67 máme spočítanou a pro další počítání ji nebudeme potřebovat, tedy ji vynecháme.

zjednodušený obvodu pro další výpočty
Obrázek č. 8 - Pokračování příkladu

Spočítáme proud celou větví I=U/R=30/36,27=0,827A. A teď začneme metodu postupného zesložiťování :D. A půjdeme pozpátku, tak jak jsme zjednodušovali. Odpor R12345 tedy rozložíme na R1234 a R5 a spočítáme na nich napětí. Protože jsou zapojeny do série oběma teče stejný proud I12345=0,827A a na odporech tedy vznikají úbytky napětí dle Ohmova zákona na R1234: U=R1234*I=11,27*0,827=9,322V a na R5: U=R5*I=25*0,827=20,678V. A známe proud i napětí odporem R5.

zjednodušený obvodu pro další výpočty
Obrázek č. 9 - Pokračování příkladu

Nyní před námi stojí možnost použití vzorců pro dělič proudu při rozložení rezistoru R1234 na rezistory R134 a R2. Ale můžeme také využít prostého Ohmova zákona a ze znalosti odporu a napětí proudy vypočítat a dostaneme pro R2: I=U/R2=9,322V/50=0,186A a pro R134: I=U/R134=9,322/14,55=0,641A.

zjednodušený obvodu pro další výpočty
Obrázek č. 10 - Pokračování příkladu

Rezistor R134 rozložíme na R1 a R34 a ze znalosti protékajícího proudu spočítáme jaký je na jednotlivých rezistorech úbytek napětí. Pro R1: U=R1*I = 10*0,641=6,410V a pro U=R34*I=4,55*0,641=2,917V.

zjednodušený obvodu pro další výpočty
Obrázek č. 11 - Pokračování příkladu

Teď už zbývá jen dopočítat proudy rezistory R3 a R4 a je vystaráno, já opět výjdu z ohmova zákona pro R3: I=U/R3=2,917/5=0,583, pro R4: I=U/R4=2,917/50=0,058A.

zjednodušený obvodu pro další výpočty
Obrázek č. 12 - Pokračování příkladu

Na závěr to celé shrnu do tabulky ať je v tom pořádek:

název R[Ω] U[V] I[A]
R1 10 6,410 0,641
R2 50 9,322 0,186
R3 5 2,917 0,583
R4 50 2,917 0,058
R5 25 20,678 0,827
R6 10 15 1,5
R7 10 15 1,5

Drobné odchylky vznikly zaokrouhlováním.

Metoda úměrných veličin.

Metodou úměrných veličin se zde prakticky zabývat nebudu, jen stručně bych popsal, jak funguje a kde ji lze použít. Použít ji můžeme všude tam, kde lze použít metodu postupného zjednodušování tedy v obvodech s jediným zdrojem. Metoda se používá tak, že se vybereme jeden rezistor zpravidla nějaký "na konci" obvodu v našem případě třeba R4 nebo R5. A vnutíme mu nějaké napětí třeba 10V a z této hodnoty a z hodnoty proudu, který při tomto vnuceném napětí odporem poteče, dopočítáme ostatní napětí a proudy odporů v obvodu až se dostaneme kde zdroji a najednou zjistíme, že na zdroji je 12V zatím co my nám vyšlo 75,2V. Tak tyto dvě hodnoty vezme a podělíme je. Zadané napětí na zdroji dělíme vypočtenou hodnotou a dostaneme konstantu k, v našem případě přibližně 0,16 a touto hodnotou vynásobíme všechny vypočtené napětí a proudy a první zvolené napětí nebo proud v obvodu.

Příklady:

1) Vypočítejte napětí a proudu rezistorů a celkový proud a výkon dodávaný do obvodu zdrojem:

schéma pro příklad
Obrázek č. 13 - Zadání příkladu
  • R1=5Ω
  • R2, R5, R6=10Ω
  • R3=15Ω
  • R4=20Ω
  • R7=a)50, b)10Ω
  • U=30V

2) Spočítejte proud tekoucí modře vyznačeným drátem pro zadání 1a i 1b.

3) Vypočítejte napětí a proudy rezistorů v obvodu. A určete, na jaký výkon minimálně musí být rezistory dimenzované.

schéma pro příklad
Obrázek č. 14 - Zadání příkladu
  • R1=500Ω
  • R2, R3=50Ω
  • R4=25Ω
  • R5=250Ω
  • R6=400Ω
  • R6=600Ω
  • U=200V

Zobraz řešení příkladů

Příklad 1/a:

název R[Ω] U[V] I[A]
R1 5 1,5 0,3
R2 10 3 0,3
R3 15 4,5 0,3
R4 20 6 0,3
R5 10 15 1,5
R6 10 15 1,5
R7 50 15 0,3

Celkový proud obvodem: I=1,8A
výkon dodávaný zdrojem do obvodu: P=54W

Příklad 1/b:

název R[Ω] U[V] I[A]
R1 5 1,875 0,375
R2 10 3,75 0,375
R3 15 5,625 0,375
R4 20 7,5 0,375
R5 10 18,75 1,875
R6 10 11,25 1,125
R7 10 11,25 1,125

Celkový proud obvodem: I=2,25A
výkon dodávaný zdrojem do obvodu: P=67,5W

Příklad 2/a: Proud je nulový. Počítáme pomocí prvního Kirchhoffova zákona do uzlu a vtéká 0,3 a vytéká také 0,3A taktéž do a z uzlu B teče 1,5A.

Příklad 2/b: Proud je 0,75A. Do uzlu A vtéká přes R1,R2,R3,R4 0,375A, ale vytéká z něj přes R7 1,125, do uzlu tedy musí přitéci ještě 0,75A. Analogicky z uzlu B musí ještě tato hodnota proudu odtéci.

Příklad 3: Výkony počíráme ze vzorce P=U*I = RI2 =U2/R

název R[Ω] U[V] I[A] P[W]
R1 500 200 0,400 80
R2 50 16 0,320 5,12
R3 50 16 0,320 5,12
R4 25 16 0,640 10,24
R5 250 168 0,672 112,90
R6 400 12,8 0,032 0,41
R7 600 19,2 0,032 0,61


Autor
Jiří Chytil

Jiří Chytil27 let

Šéfredaktor 8bitu.cz. V současné době je studentem doktroského studia na Ústavu teoretické a experimantální elektroniky na Fakultě elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně. Mezi jeho koníčky patří elektrotechnika, bastlení, programování a hudba.


Novinky Další novinky

[25. 06.]  A tentokráte vás zdravím z města New York.
Včera Zdravim vas z Bostonu vazeni ctenari.
[10. 03.]  Tak jsem pro Vás připravil novou anketu. A snažím se pokračovat na projektu jehož výsledky bych zde rád zveřejnil, ale poněkud mě brzdí diplomová práce a práce.
[30. 01.]  Omlouvám se za nečinnost způsobenou značným nedostatkem času. Nevím, ale jestli se mi to podaří změnit. To víte, člověk stárne a jeho čas je potřeba jinde než na internetu.
[07. 03.]  Po dlouhé době jsme pro vás přichystali novou anketu - najdete ji níže v pravém panelu.

Reklama

Sádrokartony Karel Richter - sádrokartony a suché stavby Brno

Okruháři.cz

Virtuální operátor GoMobil - levné volání

Programujte.com

Léčivé obrazy - enkaustika Lenka Blažíková

Keramika Věra Coufalová - užitková keramika

Anketa

Jaký další modul byste ocenili v softwaru DSE?

RC články - pasivní

RC články - aktivní

Normované filtry

Syntetické indukčnosti

Materiálové tabulky

COM terminál

Design pro 555

Výpočet transformátoru

Výpočet uPásku

Výpočet štěrbinového vedení

Návrh Step-Up měniče

Návrh invertujícího měniče

Transfigurace trojúhelník-hvězda

Předřadník a bočník