Jít k navigaci - Jít k vyhledávání


Maple 5 - Sumy, Součin a limity

30. 01. 12 - 20:00. Napsal Jiří Chytil. Přečteno 7339x.

Tento díl bude letem světem věnován sumám, součinům a začátku infinitezimálního počtu tedy limitám.

468x60.gif Doporučujeme virtuálního opertátora GoMobil.cz | Reklamní sdělení

Suma

Začneme hned sumou. Zápis je jednoduchý:

sum(x^2,x=-2..2);
10

Takto zapsaná funkce vrací sumu funkce zadané na místě prvního parametru v rozsahu zadaném druhým parametrem přes všechna celá čísla. Tedy

-22 + -12 + 0 + 22 + 22 = 10

Sumu lze zapsat také tak aby to hezky vypadalo a mělo to nějakou štábní kulturu a to takto:

Sum(x^2,x=-2..2) = sum(x^2,x=-2..2);
Sum(x^2,x=-2..2) = 10

Zápis s velkým ?S? zařídí pouze výpis, zatím co pokud ?s? napíšeme malé, suma nám vyhodí výsledek.

I suma samozřejmě umí počítat s proměnami, a vyhodit nám tak zjednodušené výsledku různých řad:

Sum(x^3,x=0..n) = sum(x^3,x=0..n);
Sum(x^3,x=0..n) = vysledek

Funkčnost si můžeme ověřit na sumě, které konverguje k Eulerovu číslu e

Sum(1/x!,x=0..infinity) = sum(1/x!,x=0..infinity);
 Sum(1/x!,x=0..infinity) = e

Součin

Při součinu mnoha čísle se používá velké řecké písmeno Π. V programu Maple je zastoupeno funkcí product. Používá se podobně jak suma:

product(x/2, x=1..7);
315/8

První argument funkce je výraz, jehož hodnoty přes čísla dosazení za číslo x všemi přirozenými čísli v rozsahu zadaném druhým parametrem, chceme násobit. Opět lze použít vkusnější zápis, obdobně jakou u sumy záměnou prvního písmene funkce za velké.

Product(x/2, x=1..7) = product(x/2, x=1..7);
 Product(x/2, x=1..7) = 315/8

Pro konečné výrazy je ovšem vhodnější používat funkci mul(výraz, rozsah hodnot)

mul(x/2,x=1..7);
315/8

Pro hezčí zápis lze funkci mul() zkombinovat s funkci Product().

Product(x^n,n=1..6) = mul(x^n,n=1..6);
 Product(x^n, x=1..7) = n^21

Funkci product je vhodné používat spíš pro výrazy s proměnou v rozsahu.

Product(x^n,n=1..n) = product(x^n,n=1..n);
 Product(x^n, x=1..7) = n^21

Dovolím si ještě jeden příklad, kde ve výsledku je funkce GAMMA(). Což je zobecnění faktoriálu pro obor komplexních čísel a podrobnosti k ní si můžete najít v Maplovském helpu.

Product(x^n,x=1..k) = product(x^n,x=1..k);
 Product(x^n, x=1..k) = vysledek

Limita

Limitu zde nebudu popisovat z matematického hlediska, na to bych doporučil například publikaci  Matematika pro beznadějné případy.

Základní zápis pro výpočet limity je:

limit((3-x)/(3+x),x = infinity);
-1

kde prvním parametrem je funkce jejíž limitu hledáme a druhým parametrem je bod ve kterém limitu hledáme. V tomto případě hledáme limitu funkce (3-x)/(3+x) v nekonečnu a výsledek dostáváme -1

Opět bych ale doporučil používat přehlednější zápis, na kterém si zkontrolujeme, co vlastně počítáme. Je to zde stejné jako u sumy na pravé straně se v zápisu zamění malé ?l? za velké ?L?

Limit((3-x)/(3+x),x = infinity) = limit((3-x)/(3+x),x = infinity);
 Limit((3-x)/(3+x),x = infinity) = -1

V případě že budeme chtít dostat limitu v bodě x = -3, dostaneme následující výsledek:

Limit((3-x)/(3+x),x = -3) = limit((3-x)/(3+x),x = -3);
 Limit((3-x)/(3+x),x = -3) = undefined

U těchto případů je nutné definovat, zda chceme počítat limitu zprava nebo zleva. Viz následující dva případy:

Zprava:

Limit((3-x)/(3+x),x = -3, right) = limit((3-x)/(3+x),x = -3, right);
 Limit((3-x)/(3+x),x = -3,right) = infinity

Zleva:

Limit((3-x)/(3+x),x = -3, left) = limit((3-x)/(3+x),x = -3, left);
 Limit((3-x)/(3+x),x = -3,left) = - infinity

Dále si výsledek limity v budech nespojitosti můžeme vybrat jako komplexní:

Limit((3-x)/(3+x),x = -3, complex) = limit((3-x)/(3+x),x = -3, complex);
 Limit((3-x)/(3+x),x = -3,compelx) = infinity - infinity*I

Poslední možností je nastavit třetí parametr na real, to je ale výchozí nastavení proto jej není potřeba zapisovat:

Limit((3-x)/(3+x),x = -3, real) = limit((3-x)/(3+x),x = -3, real);
 Limit((3-x)/(3+x),x = -3,real) = -infinity

Pro oscilující funkce jako je například sinus bude výsledek následující:

Limit(sin(x),x = infinity) = limit(sin(x),x = infinity);
 Limit(sin(x),x = infinity) = -1..1

V příštím díle pokračování infinitezimálního počtu a to derivace, parciální derivace, integrály a to jak neurčité tak i určité. A navíc i dvojné.

sum() výpočet sumy
Sum() Matematický zápis sumy
product() výpočet součinu pro rozsahy násobení dané proměnnou
Product() Matematický zápis součinu
mul() výpočet součinu pro rozsahy násobení dané numericky
GAMMA() Gama funkce
Limit() Matematický zápis limity
limit() výpočet limity
Tabulka č. 1 - Použité funkce


Autor
Jiří Chytil

Jiří Chytil27 let

Šéfredaktor 8bitu.cz. V současné době je studentem doktroského studia na Ústavu teoretické a experimantální elektroniky na Fakultě elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně. Mezi jeho koníčky patří elektrotechnika, bastlení, programování a hudba.


Novinky Další novinky

[25. 06.]  A tentokráte vás zdravím z města New York.
[17. 06.]  Zdravim vas z Bostonu vazeni ctenari.
[10. 03.]  Tak jsem pro Vás připravil novou anketu. A snažím se pokračovat na projektu jehož výsledky bych zde rád zveřejnil, ale poněkud mě brzdí diplomová práce a práce.
[30. 01.]  Omlouvám se za nečinnost způsobenou značným nedostatkem času. Nevím, ale jestli se mi to podaří změnit. To víte, člověk stárne a jeho čas je potřeba jinde než na internetu.
[07. 03.]  Po dlouhé době jsme pro vás přichystali novou anketu - najdete ji níže v pravém panelu.

Reklama

Sádrokartony Karel Richter - sádrokartony a suché stavby Brno

Okruháři.cz

Virtuální operátor GoMobil - levné volání

Programujte.com

Léčivé obrazy - enkaustika Lenka Blažíková

Keramika Věra Coufalová - užitková keramika

Anketa

Jaký další modul byste ocenili v softwaru DSE?

RC články - pasivní

RC články - aktivní

Normované filtry

Syntetické indukčnosti

Materiálové tabulky

COM terminál

Design pro 555

Výpočet transformátoru

Výpočet uPásku

Výpočet štěrbinového vedení

Návrh Step-Up měniče

Návrh invertujícího měniče

Transfigurace trojúhelník-hvězda

Předřadník a bočník