Komplexní čísla

Komplexní čísla C nám rozšiřují obor reálných čísel, které lze zobrazit na přímce. Pro zobrazení komplexních čísel je potřeba použít rovinu, a to Gaussovu rovinu. Zatímco reálná čísla vyjadřují podle znaménka vzdálenost napravo nebo nalevo od nuly, komplexní čísla můžeme vyjádřit a použít ve více tvarech.

Imaginární jednotka

Zavedeme si imaginární jednotku i. Právě ta rozšiřuje reálná čísla z přímky do roviny. Pro imaginární jednotku platí důležitý vztah:

Tvary komplexních čísel

1. Algebraický tvar

Používáme osu x pro reálnou část a osu y pro část imaginární, kde vzdálenost na ose od počátku je velikost té konkrétní složky komplexního čísla - komplikovanou poučku jistě pochopíte na obrázku 1. Jako a bude značena složka reálná, písmenem b pak složka imaginární. Jak je patrno z obrázku.

Obrázek č. 1 - Gaussova rovina - složení komplexního čísla

Běžně se komplexní složka násobí komplexní jednotkou i, ale vzhledem k tomu, že elektrotechnikům by se to pletlo s okamžitou hodnotou proudu, která se značí taktéž i, budeme používat raději písmenko j. Komplexní číslo je tedy součtem reálné a imaginární složky:

Definujme si komplexní čísla z1 a z2.

Pro rovnost komplexních čísle platí: Komplexní čísla jsou si rovna, jsou-li si rovny jejich reálné složky a imaginární složky.

Naše čísla z1 a z2 jsou si tedy rovny -

- jsou-li si rovny reálné složky a1 a a2 a imaginární složky b1 a b2

Pro imaginární jednotku j platí:

Mají-li dvě komplexní čísla stejnou reálnou složku, ale imaginární složka je opačná (tzn. vynásobená číslem -1), pak jsou tato čísla komplexně sdružená. Komplexně sdružené číslo se označuje jako c s pruhem. K číslu z je tedy komplexně sdruženým číslem z s pruhem:

Vyjádříme-li komplexně sdružené číslo na grafu, bude osově symetrické s původním komplexním číslem podle osy x.

Bude- li nás zajímat vzdálenost bodu (komplexního čísla) od počátku, budeme počítat tzv. absolutné hodnotu komplexního čísla.

Úhel δ, který je potom svírán s osou x, vypočítáme za vztahů:

A to jsou další dva parametry, které postačují k vyjádření komplexního čísla.

2) Goniometrický tvar

Goniometrický tvar je vyjádřen pomocí již výše vypočítané absolutní hodnoty takzvaného modulu a úhlu δ, neboli argumentu. A to podle vzorce:

Tento tvar se používá, protože zjednodušuje některé matematické úkony prováděné na komplexních číslech, a to například násobení, dělení a umocňování.

Zpětný převod na algebraický tvar se provádí pomocí následujících vzorců:

3) Exponenciální tvar

Obdobně jako tvar goniometrický využívá pro vyjádření hodnot reálné a imaginární složky modulu a argumentu, ale používá exponenciální funkci, která vychází z Eulerovy identity:

Komplexní číslo je pak vyjádřeno ve tvaru:

Zde je uveden včetně zápisu pro číslo komplexně sdružené. Pro zjednodušení se používá takzvaný verzorový zápis komplexního čísla.

Pomocí "zobáčku" ve verzorovém zápisu se zadávají komplexní čísla i do kalkulaček, které schopností počítat s komplexními čísly disponují.

Pokud je třeba vyjádřit jednu ze složek komplexního čísla (například v matematických programech nebo komplexních funkcích), využívá se buď funkce Re (označená lomeným R) nebo funkce Im (také označovaná lomeným I).

Upozorňuji, že funkce Im vrací b, nikoliv jb, tedy pouze číselnou složku komplexního čísla.

Jednotková kružnice

Komplexní číslo, které má absolutní hodnotu rovnu jedné, je tzv. komplexní jednotka.

Množina všech takových čísel vytváří tzv. jednotkovou krůžnici. Je to kružnice se středem v bodě 0+0j a poloměrem 1.

Některé výpočty v oboru komplexních čísel (algebraický tvar)

Sčítání a odečítání komplexních čísel realizujeme na složkovém tvaru komplexních čísel.

Definujeme si dvě komplexní čísla, z₁ a z₂.

Součet a rozdíl se provádí tak, že sečteme (odečteme) reálné a imaginární složky jednotlivých komplexních čísel z₁ a z₂.

Součin se provádí tak, jako bychom násobili mnohočlen mnohočlenem, tedy každý s každým.

Násobíme-li komplexní číslo reálným číslem, pouze vynásobíme obě složky touto reálnou konstantou. Obdobně je to i u podílu.

U podílu, kde se dělí komplexním číslem a ne jen reálnou konstantou, je situace složitější, protože máme komplexní složku ve jmenovateli. Musíme ji tedy odstranit, což se provádí tak, že celý zlomek rozšíříme komplexně sdruženým jmenovatelem. Vynásobíme-li komplexní číslo číslem k němu komplexně sdruženým, vyruší se komplexní složka a zůstane pouze složka reálná.

Zrušíme tedy komplexní složku ve jmenovateli a zůstane pouze nahoře v čitateli, a tam už nám nevadí a můžeme příklad dopočítat.

Některé výpočty v oboru komplexních čísel (goniometrický tvar)

Použití goniometrického tvaru při počítání s komplexními čísly nám zjednodušuje násobení a dělení. Absolutní složky mezi sebou sice musíme vynásobit, respektive podělit, ale úhly stačí pouze sečíst (respektive odečíst).

Tyto vztaky odvodimé následujícím způsobem:

Násobení:

Platí:

Vyjádříme:

Násobení:

Platí:

Vyjádříme:

Pokud budu násobit číslo z₁ sebou samým, tedy ho umocňovat na druhou, dostanu následující vztah:

Vynásobíme-li součin z₁*z₁ dalším číslem z₁, dostaneme:

Tomuto "jevu" se říká Moivreova věta.

Moivreova věta

Obecně ji vyjádříme takto:

Moivreova věta přináší značné usnadnění při umocňovaní komplexních čísel, a to nejen s celočíselným exponentem.

Násobení a dělení j

Násobíme-li komplexní číslo j-čkem, otáčíme ho v Gaussově rovině o π/2. Naopak dělíme-li číslo j-čkem, otáčíme ho o -π/2.

Řešení kvadratických rovnic - Odmocnina ze záporného čísla

Vzhledem k tomu, že platí výše uvedený vztah:

Platí také vztah:

V oboru reálných čísel by ale tato rovnice neměla řešení, ale komplexní čísla nám ji umožňují vyřešit a řešit tak úlohy nejen z reálného, ale také z komplexního života :]

Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel

Postupně si zde ukážeme řešení trojice kvadratických rovnic. První bude bez lineárního členu a její řešení je velmi jednoduché:

Řešení kvadratických rovnic s lineárním členem je trošku složitější, ale jen o málo složitější než řešení klasických kvadratických rovnic s řešením v oboru reálných čísel. Tvar kvadratické rovnice:

Kde a, b, c jsou konstanty. Pokud člen chybí, je konstanta nulová. Pokud není uvedena, je rovna jedné. Z těchto členů se vypočítat tzv. diskriminant značený D

• Pro D>0 dostaneme ve výsledku dva reálné kořeny (řešení) rovnice.
• Pro D=0 dostaneme jeden dvojnásobný kořen rovnice
• ProD<0 dostaneme dva komplexní kořeny, které jsou komplexně sdružené.

Mějme tedy příklad:

Ze vzorce pro determinant jsme zjistili, že jeho hodnota je záporná a tedy že řešení bude v oboru komplexních čísel. Pokračujeme tedy výpočtem hodnot x₁, x₂.

Dostali jsme tedy dvojici komplexních kořenů x₁, x₂, které jsou řešením zadané kvadratické rovnice. O tom se přesvědčíme zkouškami pro jednotlivé kořeny:

Pro x_1:

Pro x_2:

Binomická rovnice

Binomická rovnice je rovnice v tvaru:

kde platí:

Pak převedeme do tvaru:

kde platí:

Pokud q=0 pak má rovnice jediný kořen a to x=0.

Pokud q≠0 pak je výsledkem číslo v komplexní rovině

Kde:

Pro q potom platí:

Z Moivreovy věty dostaneme:

Rozložením q získáme následující vztah:

Z něj vytáhneme členy, které se sobě rovnají, a dostaneme rovnice:

kde:

Na hodnotu r nemá znaménko m vliv, ale na úhel ano. Protože:

Pro kladná q platí:

Pro záporná platí:

Kde v obou případech:

a

Všechny kořeny, které neleží na reálné ose, jsou k sobě komplexně sdružené. Kořeny, které leží na reálné ose lze také považovat za komplexně sdružené, ale neboť nemají komplexní část, jsou si rovna. Tzn. existuje-li kořen a+bi, pak musí existovat i kořen a-bi. To nám usnadní práci, protože stačí spočítat pouze polovinu kořenů.

Klasické příklady na ukázku jsou asi x³-1=0 a x³+1=0.

Př. 1

Zadání vyřešte rovnici:

Upravíme:

Potřebujeme tvar:

Zjistíme α

Dosadíme o vzorce:

A řešíme pro všechna tři k=0,1,2 a získáme kořeny x₁, x₂, x₃

Grafické znázornění kořenů:

Př. 2

Vyřešte rovnici:

Upravíme:

Potřebujeme tvar:

Ze znaménka q zjistíme α

Dosadíme o vzorce:

A řešíme pro všechna tři k=0,1,2 a získáme kořeny x₁, x₂, x₃

Grafické znázornění kořenů:

Spojením všech kořenů na kružnici dostaneme pro n≥3 vždy pravidelný n-úhelník vepsaný kružnici o poloměru |x|. Pro x⁶=1

Použití komplexních čísle v elektronice

• Fázor - v obvodech HUS¹⁾, nese informaci o maximální hodnotě a fázi dané veličiny
• Komplexní výkon - Výkon v obvodech HUS a jeho jednotlivé složky²⁾
• Komplexní impedance - Popisuje zdánlivý odpor součástky a fázový posuv signálu.

Příklady:

1. Součet a rozdíl kompexních čísel

• a) (3+7j)+(1+2j)
• b) (2-2j)+(2+j)
• c) (2-j)-(-8-j)
• d) (-7j)+(6+9j)

2. Součin a podíl kompexních čísel

• a) (1+j)*2
• b) (2-3j)*(7+j)
• c) j*2j*4j*2
• d) (2-j)/4
• e) (4-2j)/j
• f) (3+3j)/(2-j)

3. Převody mezi tvary

• a) (1+j)
• b) (2-3j)
• c) 3j
• d) -1
• e) 4*(cos(π/6)+j*sin(π/6))
• f) 2*(cos(π)+j*sin(π))
• g) 1/3*(cos(π/2)+j*sin(π/2))
• h) √8*(cos(π/4)+j*sin(π/4))

4. Součin a podíl kompexních čísel goniometrický tvar

• a) (4*(cos(π/6)+j*sin(π/6)))*(2*(cos(π)+j*sin(π)))
• b) (4*(cos(π/6)+j*sin(π/6)))/(2*(cos(π)+j*sin(π)))
• c) (4*(cos(π/6)+j*sin(π/6)))/(2*(cos(π/6)+j*sin(π/6)))
• d) (4*(cos(π/6)+j*sin(π/6)))*(2*(cos(π/6)+j*sin(π/6)))

5. Kvadratické rovnice, řešené v oboru komplexních čísle

• a) x²+x+1=0
• b) x²+2x+3=0
• c) 2x²+4x+5=0

Řešení příkladů

1. a)4+9j, b)4-j, c)10, d)6+2j
2. a)2+2j, b)17-19j, c)-16j, d)0,5-0,25j, e)-2-4j, f)0,6-1,8j
3. a)√2(cos(π/4)+j*sin(π/4)), b)√13(cos(-arctg(3/2))+j*sin(-arctg(3/2))), c)3(cos(π/2)+j*sin(π/2)), d)(cos(π)+j*sin(π)), e)2*√3+2j, f)-2, g)j/3, h)2+2j
4. a)8(cos(-5π/6)+j*sin(-5π/6)), b)2(cos(-5π/6)+j*sin(-5π/6)), c)2(cos(0)+j*sin(0)), d)2(cos(π/3)+j*sin(π/3))
5. a)-1/2+j√3/2,-1/2-j√3/2, b)-1-j√2,-1+j√2, c)-1-j√6/2,-1+j√6/2

Vysvětlivky

• 1) HUS - Harmonický usatálený stav - je stav kdy již odezněli všechny přechodné děje a obvod je buzen pouze harmonickými zdroji (se stejným kmitočtem).
• 2) Složky výkonu v obvodech HUS: Činná: P=Re(S)[W], Jalová: Q=Im(S)[VAr], Zdánlivý: S=abs(S)[VA]

Jiří Chytil22 let

Šéfredaktor 8bitu.cz. V současné době je studentem třetího ročníku bakalářského studia na Fakultě elektrotechické na VUT v Brně. Mezi jeho koníčky patří elektrotechnika a bastlení jakéhokoliv druhu.